Preguntas matemáticas 10°: Funciones trigonométricas y sus inversas

$\sin\theta =\frac{y}{r}$	$\cos\theta =\frac{x}{r}$	$\tan\theta =\frac{y}{x}$
$\csc\theta=\frac{r}{y}$	$\sec\theta=\frac{r}{x}$	$\cot\theta=\frac{x}{y}$

Definición: funciones seno y coseno

-Sea t cualquier número real y que determina el punto P(x,y). Entonces:

sin t = y

cos t = x

Propiedades del seno y del coseno

-Dado que t puede ser cualquier número real. el dominio de las funciones seno y coseno es ${(-\infty , \infty)} .$

-Los puntos P1 y P2 que corresponden a t y -t ,son simétricos con respecto al eje x. En consecuencia:

s e n ( - t) = - s e n t

c o s ( - t) = c o s t .

-Una identidad importante que relaciona las funciones seno y coseno es:

s e n 2 t + c o s 2 t = 1.

1) El seno del ángulo es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

$sin\theta =\frac{op}{hip}$

2) El coseno del ángulo es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

$cos\theta =\frac{ady}{hip}$

3) La tangente del ángulo es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

$tan\theta =\frac{op}{ady}$

4) La cosecante del ángulo es la relación entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

$csc\theta =\frac{hip}{op}$

5) La secante del ángulo es la relación entre la hipotenusa y el cateto adyacente.

$sec\theta =\frac{hip}{ady}$

6) La cotangente del ángulo es la relación entre el cateto adyacente y el opuesto.

$cot\theta =\frac{ady}{op}$

Funciones Trigonométricas Inversas.

Las tres funciones trigonométricas inversas usadas de manera común son:

1) Arcoseno: es la función inversa del seno del ángulo.

2) Arcocoseno: es la función inversa del coseno del ángulo.

3) Arcotangente: es la funcion inversa de la tangente del ángulo.

Gráficas de las funciones trigonométricas

Seno

Coseno

Secante

Cosecante

Tangente

Cotangente

Seno inverso

Coseno inverso

Tangente inversa

Cotangente inversa

Dominios De Las Funciones Trigonometricas

Función Dominio sen, cos Todos los numeros reales.

cot, csc Todos los numeros reales diferentes a n para cualquier entero.

Ejemplo1

Dado que $sin\theta=\frac{4}{5}$ y $cos\theta=\frac{3}{5}$ , encuentre los valores de las demás funciones trigonométricas.

$tan\theta =\frac{sen\theta}{cos\theta}$ = $\frac{4/5}{3/5}$ = $\frac{4}{3}$

$sec\theta =\frac{1}{cos\theta}$ = $\frac{1}{3/5}$ = $\frac{5}{3}$

$csc\theta =\frac{1}{sen\theta}$ = $\frac{1}{4/5}$ = $\frac{5}{4}$

$cot\theta =\frac{1}{tan\theta}$ = $\frac{1}{4/3}$ = $\frac{3}{4}$

Ejemplo 2

Tenemos que $sin\theta=\frac{10}{15}$ y $cos\theta=\frac{35}{25}$ , encontrar el valor de secante, cosecante, cotangente, tangente:

$sec\theta =\frac{1}{cos\theta}$ = $\frac{1}{35/25}$ = $\frac{5}{7}$

$csc\theta =\frac{1}{sin\theta}$ = $\frac{1}{10/15}$ = $\frac{3}{2}$

$cot\theta =\frac{cos\theta}{sin\theta}$ = $\frac{35/25}{10/15}$ = $\frac{21}{10}$

$tan\theta =\frac{sin\theta}{cos\theta}$ = $\frac{10/15}{35/25}$ = $\frac{10}{21}$

Identidades Trigonométricas

Son igualdades que involucran funciones trigonométricas aplicables para cualquier ángulo, de las cuales se pueden sacar otras identidades.

Estas identidades son:

s i n 2 θ + c o s 2 θ = 1

1 + c o t 2 θ = c s c 2

t a n 2 θ + 1 = s e c 2

s i n (2θ) = 2 s i n (θ) c o s (θ)

c o s (2θ) = c o s 2 (θ) - s i n 2 (θ)

$sin(\theta/2)=\pm \sqrt{\frac{1-cos(\theta)}{2}}$

$cos(\theta/2)=\pm \sqrt{\frac{1+cos(\theta)}{2}}$

$tan(\theta/2)=\frac{1-cos(\theta)}{sen(\theta)}$

c o t (θ / 2) = c s c (θ) + c o t (θ)

Propiedades Pares e Impares

El seno, la cosecante, la tangente y la cotangente son funciones impares, el coseno y la secante son funciones pares.

sen(-t)= -sen t

cos(-t)= cos t

tan(-t)= -tan t

csc(-t)= -csc t

sec(-t)= sec t

cot(-t)= -cot t

Preguntas matemáticas 10°

viernes, 6 de noviembre de 2015

Funciones trigonométricas y sus inversas