Preguntas matemáticas 10°

viernes, 6 de noviembre de 2015

Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo

Razones o relaciones Trigonométricas en el Triángulo Rectángulo

La trigonometría, enfocada en sus inicios solo al estudio de los triángulos, se utilizó durante siglos en topografía, navegación y astronomía.

Etimológicamente, trigon significa triángulo, y metron, medida. Por lo tanto, trigonometría se puede definirr como "medida de triángulos".

Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos. Para ello, veamos la figura a la derecha:

Los ángulos con vértice en A y C son agudos, el ángulo con vértice en B es recto.

Este triángulo se caracteriza por que los lados de los ángulos agudos (α y γ)son la hipotenusa y un cateto, y los lados del ángulo recto (β) son los catetos.

Cada uno de los ángulos águdos del triángulo, uno de cuyos lados es la hipotenusa, se relaciona con los catetos, que pueden ser cateto opuesto al ángulo o cateto adyacente al ángulo.

Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.

Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este.

Con los siguientes ejemplos, veamos lo dicho:

Si consideramos el ángulo α	Si consideramos el ángulo γ

cateto adyacente cateto opuesto	cateto adyacente cateto opuesto

Por convención, como vemos en los ejemplos, los trazos que son lados del triángulo se pueden representar con las letras mayúsculas correspondientes a sus dos extremos, coronadas con una línea; o bien, con una letra minúscula enfrentando a la correspondiente mayúscula de los ángulos.

Aprendido y recordado lo anterior, veremos ahora que las razones o relaciones trigonométricas se establecen entre dos lados de un triángulo rectángulo en relación con cada uno de sus ángulos agudos. También se llaman Funciones trigonométricas.

Seis son las razones o funciones trigonométricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo; de ellas, tres son fundamentales y tres son recíprocas, como lo vemos en el siguiente cuadro:

Funciones (razones) trigonométricas
Fundamentales		Recíprocas
sen	seno	cosec (csc)	cosecante
cos	coseno	sec	secante
tan (tg)	tangente	cotan (cotg)	cotangente

Veamos un ejemplo, para un ángulo α:

Sea el ángulo BACde medida α (siempre menor de 90º) en el triángulo rectángulo ABC.

Los lados BC y BA son los catetos y AC, la hipotenusa.

En este triángulo rectángulo, las razones trigonométricas con respecto a alfa (α) se definen como:

Seno

Seno, es la razón (división) entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa

Ver: PSU: Geometría;

Pregunta 09_2006

Pregunta 11_2006

Coseno

coseno, es la razón (división) entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa

Tangente

tangente, es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al mismo.

Estas tres (seno, coseno, tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre un ángulo agudo y los lados del triángulo rectángulo del cual forman parte.

A cada razón fundamental corresponde una razón recíproca, llamadas así por que cada una es la inversa de otra fundamental.

Las tres siguientes son las razones recíprocas que se pueden establecer respecto al mismo ángulo:

Cosecante

cosecante, es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo, y como es la recíproca del seno de α se puede expresar como

Secante

secante, es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo, y como es la reciproca del coseno de α se puede expresar como

Cotangente

cotangente, es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto puesto al mismo, y como es la recíproca de la tangente de αse puede expresar como

Ahora, hagamos un ejercicio:

dado el triángulo ABC rectángulo en B (figura a la derecha).

Sean sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm.

Aplicamos el Teorema de Pitágoras y calculamos la hipotenusa, que es:

8² + 6² = 10²; o sea, es igual a 10 cm

entonces podemos calcular las razones trigonométricas:

Función lineal,cuadrática y afín

1. Función lineal, cuadrática y afines.

Función lineal

Una función es lineal, directa o proporcionalidad, si los valores de las variables son directamente proporcionales. La ecuación es de la forma: y = mx (m ≠ 0)

donde m es la constante de proporcionalidad y el respeto de x directamente.

La gráfica de una función lineal es, dependiendo del dominio, una línea inclinada (o parte del mismo) que pasa por el origen, y la pendiente es m.

GRÁFICOS:

Función afín

Una función es afín si es de la forma:
y = mx + n

donde m es el valor de la pendiente y n el valor de la ordenada al origen. La representación gráfica de una función es similar, dependiendo del dominio, un recto (o parte del mismo) que intersecta el eje vertical en n.

Gráficos

Función cuadrática

Llamado función cuadrática que satisface la ecuación y = ax 2 + bx + c, donde a, b, c son parámetros, con la condición de que es diferente de cero.

Identidades trigonométricas Fundamentales

Son relaciones de igualdad entre funciones trigonométricas que se verifican para todo valor de la variable angular, siempre y cuando, la función trigonométrica este definida en dicho valor angular.

1. Identidades Reciprocas

o Sen x = 1/ csc x

o Cos x = 1/ sec x

o Csc x = 1/ sen x

o Sec x = 1/ cos x

o Tg x = 1/ cotg x

o Ctg x =1/ tg x

2. Identidades por cociente

o Tg x = sen x / cos x

o Ctg x = cos x / sen x

3. Identidades Pitagóricas

o Sen ² x + Cos ² x =1

o Tan ² x + 1 = Sec ² x

o 1 + Cot ² x = Csc ² x

4. Identidades Auxiliares

o sen 4 x + cos 4 x = 1-2sen ² x . cos ² x

o sen 6 x + cos 6 x= 1-3sen ² x . cos ² x

o tgx + cotx = secx . cscx

o sec ² x + csc ² x = sec ² x . csc ² x

Tipo de ejercicios

1. Ejercicios tipo demostración

o Demostrar una identidad, implica que el primer miembro se pueda reducir al segundo miembro o viceversa o que cada miembro por separado se pueda reducir a una misma forma.

o La verificación de identidades se efectúa usando las diferentes transformaciones algebraicas o trigonométricas.

2. Ejercicios tipo simplificación

o Se buscara una expresión reducida de la planteada con la ayuda de las identidades fundamentales y/o auxiliares con transformaciones algebraicas.

3. Ejercicios tipo condicional

o Si la condición es complicada debemos simplificarla y así a una expresión que puede ser la pedida o que nos permita hallar fácilmente la que nos piden. Si la condición es simple inmediatamente se procede a encontrar la expresión pedida.

4. Ejercicios tipo eliminación angular

o Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas relaciones trigonométricas debemos encontrar relaciones algebraicas en donde no aparezca el ángulo.

5. Ecuaciones Trigonométricas

6. Ecuaciones Elementales

o Son aquellas ecuaciones que presentan la siguiente forma:

o F.T.(Kx) = a

7. Ecuaciones no elementales

o Son aquellas ecuaciones que para ser resueltas se aplicaran propiedades algebraicas y propiedades trigonométricas que nos permitan su resolución.

Ángulos de referencia

Ángulos de Referencia

Para el cálculo de los valores de las funciones trigonométricas de cualquier número (o ángulo), basta con conocer las que corresponden a un número que esté en el intervalo

, (ángulos agudos).
Para realizar este proceso se utiliza un ángulo llamado ángulo de referencia.

Definición 5.7.1. Un ángulo de referencia $\theta _{r}$ para $\theta$ , es el ángulo agudo que forman el lado final de $\theta$ y el eje

Para calcular los valores de las funciones de un ángulo no cuadrantal

, usando los ángulos de referencia, se hallan las que corresponden al ángulo de referencia y se hace la relación teniendo en cuenta el cuadrante al cual pertenece el ángulo dado.

traslación de funciones y sus clasificaciones

TRASLACIÓN DE FUNCIONES

Se puede referir a lo que sigue de f(x) la translacion horizontal es: f(x+c) o f(x-c)y la translacion vertical es:f(x)+cdonde c es una constante

TRASLACION:

Es sumar o restar una c a la funcion o sea sea f(x)una funcion para trasladar la funcion hacemos f(x+c) o f(x-c) con c igual a una constante

CLASIFICACION DE FUNCIONES.

Funciones algebraicas:

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radiación.
Dibujo:

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas:

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x - 2

Funciones implícitas:

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x - y - 2 = 0

Funciones constantes:

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado :

f(x) = mx +n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Función afín.

Función lineal.

Función identidad.
Funciones cuadráticas
f(x) = ax² + bx +c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

Funciones a trozos:

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

Funciones en valor absoluto.

Función parte entera de x.

Función mantisa.

Función signo.
Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomio:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Funciones radicales:

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funciones trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Función exponencial
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
Funciones logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
Funciones trigonométricas
Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cosen x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Función secante

f(x) = sec x

y = n

El criterio viene dado por un número real.

La pendiente es 0.

Funciones trigonométricas y sus inversas

$\sin\theta =\frac{y}{r}$	$\cos\theta =\frac{x}{r}$	$\tan\theta =\frac{y}{x}$
$\csc\theta=\frac{r}{y}$	$\sec\theta=\frac{r}{x}$	$\cot\theta=\frac{x}{y}$

Definición: funciones seno y coseno

-Sea t cualquier número real y que determina el punto P(x,y). Entonces:

sin t = y

cos t = x

Propiedades del seno y del coseno

-Dado que t puede ser cualquier número real. el dominio de las funciones seno y coseno es ${(-\infty , \infty)} .$

-Los puntos P1 y P2 que corresponden a t y -t ,son simétricos con respecto al eje x. En consecuencia:

s e n ( - t) = - s e n t

c o s ( - t) = c o s t .

-Una identidad importante que relaciona las funciones seno y coseno es:

s e n 2 t + c o s 2 t = 1.

1) El seno del ángulo es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

$sin\theta =\frac{op}{hip}$

2) El coseno del ángulo es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

$cos\theta =\frac{ady}{hip}$

3) La tangente del ángulo es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

$tan\theta =\frac{op}{ady}$

4) La cosecante del ángulo es la relación entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

$csc\theta =\frac{hip}{op}$

5) La secante del ángulo es la relación entre la hipotenusa y el cateto adyacente.

$sec\theta =\frac{hip}{ady}$

6) La cotangente del ángulo es la relación entre el cateto adyacente y el opuesto.

$cot\theta =\frac{ady}{op}$

Funciones Trigonométricas Inversas.

Las tres funciones trigonométricas inversas usadas de manera común son:

1) Arcoseno: es la función inversa del seno del ángulo.

2) Arcocoseno: es la función inversa del coseno del ángulo.

3) Arcotangente: es la funcion inversa de la tangente del ángulo.

Gráficas de las funciones trigonométricas

Seno

Coseno

Secante

Cosecante

Tangente

Cotangente

Seno inverso

Coseno inverso

Tangente inversa

Cotangente inversa

Dominios De Las Funciones Trigonometricas

Función Dominio sen, cos Todos los numeros reales.

cot, csc Todos los numeros reales diferentes a n para cualquier entero.

Ejemplo1

Dado que $sin\theta=\frac{4}{5}$ y $cos\theta=\frac{3}{5}$ , encuentre los valores de las demás funciones trigonométricas.

$tan\theta =\frac{sen\theta}{cos\theta}$ = $\frac{4/5}{3/5}$ = $\frac{4}{3}$

$sec\theta =\frac{1}{cos\theta}$ = $\frac{1}{3/5}$ = $\frac{5}{3}$

$csc\theta =\frac{1}{sen\theta}$ = $\frac{1}{4/5}$ = $\frac{5}{4}$

$cot\theta =\frac{1}{tan\theta}$ = $\frac{1}{4/3}$ = $\frac{3}{4}$

Ejemplo 2

Tenemos que $sin\theta=\frac{10}{15}$ y $cos\theta=\frac{35}{25}$ , encontrar el valor de secante, cosecante, cotangente, tangente:

$sec\theta =\frac{1}{cos\theta}$ = $\frac{1}{35/25}$ = $\frac{5}{7}$

$csc\theta =\frac{1}{sin\theta}$ = $\frac{1}{10/15}$ = $\frac{3}{2}$

$cot\theta =\frac{cos\theta}{sin\theta}$ = $\frac{35/25}{10/15}$ = $\frac{21}{10}$

$tan\theta =\frac{sin\theta}{cos\theta}$ = $\frac{10/15}{35/25}$ = $\frac{10}{21}$

Identidades Trigonométricas

Son igualdades que involucran funciones trigonométricas aplicables para cualquier ángulo, de las cuales se pueden sacar otras identidades.

Estas identidades son:

s i n 2 θ + c o s 2 θ = 1

1 + c o t 2 θ = c s c 2

t a n 2 θ + 1 = s e c 2

s i n (2θ) = 2 s i n (θ) c o s (θ)

c o s (2θ) = c o s 2 (θ) - s i n 2 (θ)

$sin(\theta/2)=\pm \sqrt{\frac{1-cos(\theta)}{2}}$

$cos(\theta/2)=\pm \sqrt{\frac{1+cos(\theta)}{2}}$

$tan(\theta/2)=\frac{1-cos(\theta)}{sen(\theta)}$

c o t (θ / 2) = c s c (θ) + c o t (θ)

Propiedades Pares e Impares

El seno, la cosecante, la tangente y la cotangente son funciones impares, el coseno y la secante son funciones pares.

sen(-t)= -sen t

cos(-t)= cos t

tan(-t)= -tan t

csc(-t)= -csc t

sec(-t)= sec t

cot(-t)= -cot t